Jacobian

Robotics나 Computer Animation에서 Invers Kinematics를 풀 때 많이 나오는 Jacobian에 대해서 알아보자.

Jacobian은 19세기 독일 수학자 Carl Gustav Jacobi에 의해서 제안되었다. 보통 the Jacobian이라고 하면, Jacobian matirx나 Jacobian determinant를 나타낸다.

n개의 변수들,  , ..., 안에서 n개의 방정식들의 집합 가 아래와 같이 명시적으로 주어질 때, 

(1)

혹은 좀 더 명확하게, 

(2)

Jacobian 행렬은 (때때로 단순히 Jacobian이라고 불린다) 아래와 같이 정의된다.

(3)

의 행렬식은 Jacobian determiant이며 (헷갈리게도 흔히 the Jacobian이라고도 불린다) 아래와 같이 나타낸다.

(4)

미분을 취해보면, 

(5)

가 행렬의 행렬식임을 보여주고,  와 안의 n차원의 부피의 비를 준다.

(6)

그러므로 이 미분은 change of variables theorem에 나타난다.

Jacobian의 개념은 n개 이상의 변수들 안에 있는 n개의 함수들에 적용될 수도 있다. 예를 들어, 와 를 고려해보면, Jacobian은 아래와 같이 정의된다. (Kaplan 1984, p. 99).

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n = 3인 변수들의 경우에, Jacobian은 특별한 형태를 갖는다.

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여기서  는 내적이고 는 외적이며, 위 식은 아래와 같이 확장될 수 있다.

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출처
http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian
http://mathworld.wolfram.com/Jacobian.html