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2006/10/31 Normal equation (정규 방정식)
2006/10/30 Jacobian

최소자승법 (least-squares method)

From Geophiwiki

일련의 측정 자료에 가장 부합하는, 즉 측정값 $Y_i$ 와 이론적 모델 반응값 $y_i$ 의 차이의 제곱의 합 $E$ 가 최소가 되도록 하는 모델변수 $p_i$ 를 결정하는 방법;

$E = \sum\limits_i {(Y_i - y_i )^2 } \to {\text{min}}$

위 관계식을 만족하기 위해서는 오차 함수 $E$ 의 모델변수에 대한 편미분이 0이 되어야 한다;

$\frac{{\partial E}}{{\partial P_i }} = 0$

이를 정규 방정식이라 한다. 예를 들어 이론 모델 반응이 모델변수가 $a$ , $b$ 의 1차 함수 $y_i=ax_i+ b$ 로 표현될 수 있을 때, 정규 방정식은 다음과 같다;

$\frac{{\partial E}}{{\partial a}} = 0 = \sum\limits_i {2(Y_i - ax_i - b)( - x_i )}$

$\frac{{\partial E}}{{\partial b}} = 0 = \sum\limits_i {2(Y_i - ax_i - b)( - 1)}$

$\therefore a\sum\limits_i {x_i ^2 } + b\sum\limits_i {x_i } = \sum\limits_i {x_i Y_i }$

여기서, $N$ 은 측정 갯수이다.

원본 주소 - 'http://gpl.snu.ac.kr/mediawiki/index.php/%EC%B5%9C%EC%86%8C%EC%9E%90%EC%8A%B9%EB%B2%95_%28least-squares_method%29'

Lemma 7.3.1

x가 Ax=b의 least-squares solution이기 위한 필요충분 조건은 x가 을 만족해야 한다.

을 의 normal equation이라 한다.

출처 : http://matrix.skku.ac.kr/nla/ch7.htm

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Normal equation (정규 방정식) :: 2006/10/31 16:47 공부할 거

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Robotics나 Computer Animation에서 Invers Kinematics를 풀 때 많이 나오는 Jacobian에 대해서 알아보자.

Jacobian은 19세기 독일 수학자 Carl Gustav Jacobi에 의해서 제안되었다. 보통 the Jacobian이라고 하면, Jacobian matirx나 Jacobian determinant를 나타낸다.

n개의 변수들, , ..., 안에서 n개의 방정식들의 집합 가 아래와 같이 명시적으로 주어질 때,